Добро пожаловать!!!
Войдите или зарегистрируйтесь.
Социальные сети
pokerstrategy
Покер онлайн
academypoker
pokersavvy
PokerSavvy
mansion poker
party poker
RedStar Poker
Rakeback 33% at Red Star Poker
leon bets
Букмекерская контора "ЛЕОН" - ставки на спорт
lotos poker
LotosPoker
• Использование материалов сайта возможно только при использовании гиперссылки на www.Bet4Bet.ru

Copyright © 2012 Все права защищены

Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика


Математическое ожидание

Перейти вниз

Математическое ожидание

Сообщение автор Admin в Вс Мар 18, 2012 6:43 pm

В этой статье мы поговорим о математическом ожидании (или, как его часто называют, ЕВ, от английского EV = “Expected Value”). Сначала мы дадим общее определение, посчитаем это самое ожидание в нескольких простых примерах, а потом покажем, где и как даже такое простое понятие может быть очень полезным покерному игроку.
У этого понятия есть строгое математическое определение (оно же математическое ожидание все-таки, а не просто ожидание). В этой статье мы будем говорить только о случайных величинах (у них тоже есть строгое математическое определение, но здесь давайте просто считать их «результатами некоторого случайного эксперимента»), которые могут принимать лишь конечное число значений. То есть мы будем считать, что случайная величина Х (результат эксперимента) может принимать значения х1 с вероятность р1, х2 с вероятностью р2,..хn с вероятностью рn (кстати здесь нужно заметить, так, на всякий случай, что сумма p1 + … + pn должна быть равна единице). Для такой случайном величины математическое ожидание равно


Если бы все вероятности p1,..,pn были равны по 1/n, то формула превращалась бы в формулу обычного арифметического среднего. На самом деле, вычисление математического ожидания и есть вычисление «среднего» значения случайной величины в том смысле, что каждому возможному значению величины приписывается «вес», равный вероятности именно этого значения, и чем больше эта самая вероятность, тем больший «вес» имеет соответствующее значение случайной величины при подсчете среднего. Математическое ожидание даже часто называют «средним».
Рассмотрим несколько простейших примеров. Допустим мы платим доллар за следующую игру: подбрасывается монетка, и если выпадает орел, то мы получаем 2 доллара, а если решка — то ничего. Не знаю, зачем кому-то в такую игру играть, но ради примера рассмотреть ее можно. В случае этой игры наш выигрыш (который мы и обозначим через Х) может быть равен х1 = 2 доллара с вероятностью 0,5 или х2 = 0 с такой же вероятностью 0,5. Тогда по формуле для математического ожидания получаем 2*0,5 + 0*0,5 = 1. То есть «средний» выигрыш равен цене игры (1 доллар). Конечно, любой игрок в покер знает, что таких игр не бывает, и скучное казино, придумавшее такую игру, конечно, собирало бы с игроков рейк, делающий игру для игрока минусовой, а для казино плюсовой.
Посмотрим теперь на пример чуть более сложный и гораздо более покерный. Допустим, на доске лежат карты флопа и терна, причем 2 карты имеют одну и ту же масть, а торговля на флопе и наши знания о сопернике позволяют нам предположить, что у него именно флеш-дро (ну вот такие мы прозорливые). Пусть банк на терне равен B и предположим, что если на ривере флеш-дро не закроется, то наш соперник всегда будет младше, причем он просто сдастся, а если флеш-дро закроется, то он всегда будет старше, но уже мы просто сдадимся. Мы хотим поставить такую ставку, уравняв которую наш соперник сделал бы математическую ошибку. Если на терне мы сделаем ставку в k*B, то в случае колла соперника и незакрывшегося дро проигрыш соперника составит k*B (размер уравненной ставки), а в случае колла соперника и закрывшегося дро он выиграет (1+k)*B фишек (те, что были в банке, плюс те, что мы поставили на терне). Математическое ожидание такого действия нашего оппонента равно

где p – вероятность того, что дро закроется. Эту вероятность посчитать просто: к терну в колоде осталось 44 карты, из которых 9 совпадают по масти с картами на руках нашего оппонента (две у него на руках, а еще две уже на доске), то есть p = 9/44, что очень близко к 1/5. Таким образом мы посчитали математическое ожидание выигрыша нашего соперника, уравнивающего нашу ставку на терне. Вопрос, который перед нами стоит: какую ставку нужно выбрать, чтобы это ожидание было отрицательным? Для этого мы должны решить неравенство

откуда получается , то есть любая ставка в больше чем треть банка будет для нашего соперника отрицательной (а следовательно для нас положительной) «в среднем».
Так почему же математическое ожидание называется средним и почему же оно так важно для покерного игрока?
Важнейшее свойство математического ожидания и вообще один из важнейших результатов теории вероятностей — закон больших чисел, который утверждает, что если имеется последовательность X1, X2,.., Xn случайных величин, которые независимы и одинаково распределены (то есть являются результатами одинаковых и независимых экспериментов), то их арифметическое среднее

стремится к математическому ожиданию, когда n стремится к бесконечности. Интерпретировать этот результат можно так: когда количество испытаний очень большое, «средний» результат равен именно математическому ожиданию. Поэтому, например, в нашей задаче про флеш-дро, ставя каждый раз больше трети банка, мы можем выиграть, а можем и проиграть, но в среднем за много таких розыгрышей будем в плюсе.
Рассмотрим еще несколько примеров, которые покажут, что такое простое понятие как математическое ожидание может оказаться очень и очень полезным в некоторых классических покерных ситуациях.
Задача 1. Допустим, мы играем хедз-ап кеш и замечаем, что наш соперник слишком тайтов и слишком часто сбрасывает карты на наш рейз до флопа. Пусть процент его фолда на наш рейз равен p. Когда (то есть при каком р) нам будет выгодно открывать рейзом все руки?
Решение задачи 1. До нашего рейза банк составляет 1,5 больших блайнда. Если наш рейз равен 3 большим блайндам (то есть мы вкладываем дополнительные 2,5), то с вероятностью р (то есть когда наш соперник выбросит карты в пас) мы выигрываем 1,5 больших блайнда, уже лежащие на столе, а с вероятностью (1-р) проигрываем 2,5 больших блайнда, вкладываемые в рейз. Заметим, что здесь мы предполагаем наихудший для нас случай: когда наш соперник уравнивает нашу ставку до флопа, он всегда выигрывает. На практике это не так, поэтому настоящее математическое ожидание от такого нашего действия еще выше чем то, что мы посчитаем сейчас, а значит, более низкие значения р, чем те, которые мы найдем в этом решении, все равно будут приносить нам выгоду.
Итак, получаем среднее, равное 1,5*р — 2,5*(1-р) = 4р — 2,5 больших блайнда, и если p > 2,5/4 = 52,5 процента, то наше действие плюсово. Если же наш рейз составляет 2 больших блайнда (то есть мы вкладываем дополнительные 1,5), то среднее получается равным 1,5*р — 1,5*(1-р) = 3р — 1,5, и любое р, превышающее 50 процентов, приносит нам выгоду.
Заметим, что ситуация будет точно такой же (только не в смысле выигрыша денег, а в смысле выигрыша фишек) в случае хедз-ап снг турнира. Или даже в случае обычного турнира, когда игроки часто остаются вдвоем на блайндах.
Задача 2. Предположим теперь, что наш соперник по хедз-ап игре очень часто сбрасывает карты на наш трибет. Когда нам выгодно трибетить все рейзы оппонента независимо от карт у нас на руках?
Решение задачи 2.
Пусть, как и в прошлой задаче, процент фолда нашего оппонента равен р. Пусть рейз его составляет 3 больших блайнда, а наш трибет — 9 больших блайндов. Тогда к моменту нашего трибета на столе уже находятся 4 больших блайнда, и чтобы выиграть их, мы вкладываем дополнительные 8. В этом случае математическое ожидание от такого нашего действия равно 4*р — 8*(1-р) = 12*р — 8, и любое р, большее 75 процентов, делает наш трибет положительным в среднем действием.
Заметим снова, что мы предположили победу нашего соперника всегда, когда он не сбросит на наш трибет, что, конечно же, неверно, и меньшие р тоже будут приносить нам выгоду.
И вновь заметим, что меньший размер трибета будет приносить выгоду при более низких процентах фолда соперника. Если, например, мы трибетим в 7 больших блайндов (то есть добавляем 6), то средняя выгода от трибета будет равна 4*р — 6*(1-р) = 10*р — 6, и р, большее 60 процентов, нас уже устраивает. Хотя здесь, конечно, нужно учитывать то, что на меньший трибет и выбрасывать карты в пас соперник будет реже.
avatar
Admin
Admin
Admin

Сообщения : 798
Дата регистрации : 2012-02-07

Посмотреть профиль

Вернуться к началу Перейти вниз

Вернуться к началу


 
Права доступа к этому форуму:
Вы не можете отвечать на сообщения